中考复习题目-半角模型
如图1所示
连接FB，绕O点旋转FOB到F`OA的位置，将F`E与FE连接，可得结论：
(1)1+4=2，即OE平分FOF`
(2)OEFOEF`
(3)EOF`=EOF
模型分析：
OBFOAF`,
3=4，OF=OF`
2=0.5AOB
1+3=2
1+4=2
OE 是公共边，
OEFOEF`
半角模型的特点：两个角半相关，且两个角有公共顶点，且较大角的两边相等；
通过旋转同余，再通过轴对称同余，总的结论是证明线段的和差关系；
常见的半角型号有60（含30）、90（含45）、120（含60）。
（通过等腰三角形的顶点ABC（AB=AC）（设顶角为A），引两条射线，夹角为A/2；这两条射线与穿过底角顶点的相关直线相交对于M、N两点来说，BM、MN、NC之间一定存在固定的关系，这种关系只与相关的两条直线和顶角A）有关。
解决方案：
以A点为中心，将ACN（顺时针或逆时针）旋转角度A至ABN\’并连接MN\’；
综上所述：
1:AMN等于AMN\’，MN=MN\’；
2:跟随BM,MN\’,N\’B(=NC),
若共线，则存在x+y=z型关系；如果不共线，那么在BMN\’中，MBN\’必定与A相关，因此勾股定理（有时需要画垂直线）或者直接用余弦定理即可得到
三者之间的关系。
申请环境：（仅限初中）
1：具有特殊顶角的等腰三角形，如30、45、60、75或其补角90；
2：正方形、菱形等也可以生成等腰三角形；
3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角的两条平分线、腰上的两条高、底角相邻补角的两条角平分线、另外两条底角的相邻补角的边等；正方形或棱柱的另外两条边；
4：该等腰三角形的相关弦。）
模型1：含半角模型90的角度
(1) 角度包括半角型号90—1
【条件】：正方形ABCD； EAF=45；
【结论】：EF=DF+BE； CEF的周长是正方形ABCD周长的一半；
也可以这样做：
【条件】：正方形ABCD； EF=DF+BE；
【结论】：EAF=45；
问题图
(2) 角度包括半角型号90—2
【条件】：正方形ABCD； EAF=45；
【结论】：EF=DF-BE；
问题图
(3) 角度包括半角型号90—3
【条件】：RtABC； DAE=45；
【综上所述】：
（如图1所示）
若DAE在ABC外旋转，则结论
仍然成立（图2）
问题图
(2) 含角半角模型的90变形
【条件】：正方形ABCD；
EAF=45；
【结论】：AHE是等腰直角三角形；
证明：连接AC（方法并不唯一）
DAC=EAF=45,
DAH=CAE，且ACB=ADB=45；
DAHCAE,
AHEADC，AHE是等腰直角三角形
练习题：
1、如图所示，正方形ABCD的对角线交于O点。M、N点分别是BC、CD边上的移动点（与B、C、D点不重合）。 AM和AN分别与BD相交于E。两点F，且MAN=45，则得出如下结论：MN=BM+DN； AEFBEM； AF/AM=2/2 FMC是等腰三角形。正确的是（ ）
有问题的图片
将ABM绕A点逆时针旋转90至ADM，
MAN=DAN+MAB=45，AM=AM，BM=DM，
MAN=MAN=45, AN=AN,
AMNAMN（SAS），
MN=NM,
MN=MD+DN=BM+DN,
MN=BM+DN；因此是正确的；
FDM=135，MAN=45，
M+AFD=180，
AFE+AFD=180，
AFE=M,
AMB=M,
AMB=AFE,
EAF=EBM=45,
AEFBEM，故正确；
答案图
2、如图所示，在正方形ABCD中画EAF=45，AE与BC相交于E点，AF与CD相交于F点，连接EF，经过A点画AHEF，垂脚为H ，将ADF绕A点顺时针旋转90即可得到ABG。如果BE=2，DF=3，则AH的长度为___。
问题图
由旋转的性质可知：AF=AG，DAF=BAG。
四边形ABCD 是正方形，
坏=90。
且EAF=45，
BAE+DAF=45。
BAG+BAE=45。
GAE=FAE。
在GAE和FAE中
AG=AF
GAE=FAE
AE=AE,
GAEFAE。
ABGE,AHEF,
AB=AH，GE=EF=5。
假设正方形的边长为x，则EC=x2，FC=x3。
在RtEFC中，由毕达哥拉斯定理可知：EF2=FC2+EC2，即(x2)2+(x3)2=25。
解：x=6。
AB=6。
3、如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上。若AE=平方根5，EAF=45，则AF的长度为______。
问题图
答案01
答案02
方法二：补齐正方形，利用半角模型求
（自己做）
型号2：含半角型号120
1 AB、AC位于等边ABC两侧的直线上有两点M、N。 D为ABC外点，MDN=60，BDC=120，BD=DC。探究：当M、N分别沿直线AB、AC运动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及AMN的周长Q与等边形ABC的周长L之间的关系。
(1)如图1所示，当点M、N分别在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN的数量关系是什么；此时Q是多少； L;
（2）如图2所示，点M和N分别在边AB和AC上，当DMDN时，猜想（一）中提出的两个结论是否仍然成立？如果属实，请直接写出你的结论；如果不正确，请解释原因。
（3）如图3所示，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，BM、NC、MN的数量关系是什么？并给出证明。
问题图
答案01
答案03
练习题：
1、已知：在等边ABC中，O点为边AC和BC的垂直平分线的交点。 M和N分别在直线AC和BC上，且MON=60。
(1)如图1所示，当CM=CN且M、N分别在AC、BC边时，请写出AM、CN、MN的数量关系；
（2）如图2所示，当CMCN且M和N分别在边AC和BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？如果属实，请证明；如果不是，请解释原因；
（3）如图3所示，当M点在AC边，N点在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN之间的数量关系。
问题图
2. 如图1所示，四边形ABCD，以顶点A为中心绕顶点A顺时针旋转EAF，角的一侧与DC的延长线相交于F点，角的另一侧与CB的延长线相交于点E. 连接EF。
(1) 若四边形ABCD是正方形，当EAF=45时，有EF=DFBE。请思考如何证明这个结论（想一想，不需要写证明过程）；
(2)如图2所示，若在四边形ABCD中，AB=AD，ABC=ADC=90，则EAF=
当BAD时，EF、DF、BE之间的数量关系是什么？请写出它们之间的关系（只写结论）；
(3)如图3所示，若四边形ABCD中AB=AD，ABC与ADC互补，当EAF=
当BAD时，EF、DF、BE之间的数学关系是什么？请写出他们之间的关系并提供证明；
(4) 在(3)中，若BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周长（直接写出结果即可）。
问题图
3.已知：正方形ABCD，EAF=45。
(1)如图1所示，当点E、F分别在边BC、CD上，连接EF，验证：EF=BE+DF；
童薇同学是这样想的。请和他一起完成下列解答： 证明：将ADF绕A点顺时针旋转90，得ABG，故ADFABG。
(2)如图2所示，点M、N分别在边AB、CD上，且BN=DM。当E点和F点分别在BM和DN上时，连接EF并探索三条线段EF、BE和DF之间的满意度。定量关系并证明你的结论。
(3)如图3所示，当E点和F点分别在对角线BD和边CD上时。如果FC=2，则BE的长度为___。
